10. ii=e−π2 を表示するための手順を記述し,一般的な解を求めなさい.
4.7 練習問題の答え 95
上 記 よ り 一 般 形 は, sinnx = 2n−1sinxcosn−1x − · · · と な り, 残 り の 項 は sinxcosn−(2k+1)xとなります.
4. 最 初 の グ ラ フ は 原 点 を 中 心 と す る 半 径1の 円 で す. 点(1,0)か ら 出 発 し て 反 時 計 回 り に 円を描きます. 2番目のグラフは角度0から2π までの間で,最初のグラフのy 座標が変 化するグラフです. 点(cos 1,sin 1) はグラフ上に小さな点で表示されています. また,点 (1,sin 1)は2番目のグラフで小さく表示されています.
1 0. 5 0 -0. 5 -1
0. 5
0
-0. 5 x y
x y
(cost,sint)
5 2 . 5 0 -2 . 5 -5
0 . 5
0
-0 . 5 x y
x y
(t,sint)
5. 最 初 の グ ラ フ は 原 点 を 中 心 と す る 半 径1の 円 で す. 点(1,0)か ら 出 発 し て 反 時 計 回 り に 円を描きます. 2番目のグラフは角度0から 2π までの間で,最初のグラフのy座標が変 化するグラフです. 点(cos 1,sin 1) はグラフ上に小さな点で表示されています. また,点
(cos 1,1)は2番目のグラフで小さく表示されています. 3番目のグラフは2番目のグラフ
で両軸を入れ替えたものです. 3番目のグラフはy= cosxの形を表しています.
1 0 . 5 0 -0 . 5 -1
0 . 5
0
-0 . 5 x y
x y
(cost,sint)
1 0. 5 0 -0. 5 -1
5
2. 5
0
-2. 5
-5 x y
x y
(cost, t)
5 2. 5 0 - 2. 5 - 5
1
0. 5
0
- 0. 5
- 1 x y
x y
(t,cost) 6. θ
360 = (13
600π)
2π と記述します. 数式にカーソルを配置し,求解サブメニューから解を選択し ます. θ=3910 度が得られます. 数値解を選ぶとθ= 3.9度が得られます.
7. 以下のような単純形式で計算するには,ツール +計算エンジン設定を選び,一般タブにあ る求解オプションの基本的な解だけチェックボックスにチェックを付けます.
（a）関数定義メニューから新しい定義コマンドを選択し,α=π9 とc= 2を定義します. 式 β=π2−αに計算コマンドを事項してβ= 187πとなります. 式a=csinαに計算コ マンド(または数値計算コマンド)を実行して,a= 2 sin19π(= 0.68404)となります. 式b=ccosαto getb= 2 cos19π(= 1.8794)となります.
（b）関数定義メニューから新しい定義コマンドを選択し,a= 19とc= 23を定義します. 式a2+b2=c2 にカーソルを配置して求解メニューから解または数値解コマンドを選 択します. b= 2√
42 (= 12.96)が得られます. 式sinα=a
c, cosβ=a
c に対してそれ ぞれ求解+解コマンドを実行するとα= arcsin1923, β= arccos1923;が得られます. ま
たは2行1列の行列式
[ sinα=a/c α∈(0, π/2)
] と
[ cosβ=a/c β∈(0, π/2)
]
に対して求解+解コマ ンドを実行するとα= 0.9721, β= 0.5987を得ることができます.
8. 関数定義サブメニューから新しい定義コマンドを使ってα= π9, β= 2π9,とc= 2 と定 義 しま す. 式γ =π−α−βに計算コマ ン ドを 実 行し てγ = 23πを得ま す.関数定 義サ ブメニューから新しい定義コマンドを使ってγ= 23π を定義します.式 a
sinα = c sinγ と b
sinβ= c
sinγ に求解+解コマンドを実行してa=43√
3 sin19πとb= 43√
3 sin29πを得る ことができます. 求解+数値解コマンドを利用すると数値解を求めることができます. 9. 一般的な三角形の解.
a
b
β c
α γ
（a）a= 2.34,b= 3.57,とγ= 21629πを定義します. 式a2+b2−2abcosγ=c2 に求解+ 解コマンドを実行するとc= 1.7255.が得られます. 式c= 1.7255を定義します. 式
a sinα= c
sinγ および b sinβ= c
sinγに対して求解+解コマンドを実行します.または
行列
a sinα= c
sinγ α∈(0, π/2)
と
b sinβ= c
sinγ β∈(0, π/2)
に対して求解+数値解コマンドを 実行します. α= 0.58859とβ= 1.0104が得られます.
3辺の長さが与えられている場合も同じ手法で求めることができます.上記γをcに置 き換えて考えてください.
（b）3辺a= 2.53,b= 4.15,c= 6.19を定義します. 式a2+b2−2abcosγ=c2 に求解 +解コマンドを実行するとγ= 2.3458が得られます. γ= 2.3458 を定義します. 式
a sinα = c
sinγ および b sinβ = c
sinγ に対して求解+解コマンドを実行します. また
は,行列
a sinα= c
sinγ α∈(0, π/2)
と
b sinβ = c
sinγ β∈(0, π/2)
に対して求解+数値解コマン ドを実行し,α= 0.29632,とβ= 0.49948を得ます.
10. 極形式において,i= cosπ2 +isinπ2 =eiπ2 となります. このとき( eiπ2)i
=e−π2 となりま す.一般解の場合,i= cos(π
2 + 2πk)
+isin(π
2+ 2πk)
=ei(π2+2πk) となりkが整数であ ればii=(
ei(π2+2πk))i
=e−π2−2πkとなります.
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第 5 章
関数の定義
記号から数式オブジェクトを作成したり,複数の数式を組合せて関数を作成する場合は関数定義コ マンドを利用します. 関数定義機能は非常に強力なツールです. 実際に定義を行う前に,関数,定 数,式の名称について解説します.